Уравнения с модулем. Основные виды уравнений и способы их решений.1. Повторение.
Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х, т.е. | x|, называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное:
| x|=
2. Геометрический смысл модуля.
Каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, для которой это число является координатой. Абсолютная величина этого числа – это расстояние соответствующей точки оси до начала координат. Например: х = а и х = – а удалены от начала координат на | а|.
Геометрически, абсолютная величина, (модуль) действительного числа есть расстояние от точки, изображающей это число на числовой оси, до начала координат.
Способы решения простейших уравнений с модулями.
1. | x| = с ( действительное число)
| x| = с Примеры: | x|= 5, х = ± 5; | x|= 0, х = 0; | x|= –5, х ø;
2. | f(x)| = b, b>0
| f(x)| = b
| f(x)| = b, или | f(x)| = – b
Примеры:
а). | x+2 |= 7 x+2 = 7 или x+2 = – 7 x = 5; x = –9
По смыслу модуля это уравнение может иметь решение, если правая часть g(x) = ≥ 0 ( неотрицательна ). Значит, раскрывая модуль при g(x) = ≥ 0 имеем два уравнения: f(x) = g(x) или f(x) = –g(x). То есть
Метод интервалов ( для решения всех типов уравнений с модулями). Метод интервалов - это универсальный метод решения уравнений всех видов с модулями. Метод интервалов состоит в том, что область определения уравнения разбивается на промежутки, в каждом из которых все подмодульные выражения сохраняют знак. Для этого достаточно найти корни подмодульных выражений и расположить их в порядке возрастания. Концы полученных промежутков можно относить к любому из смежных промежутков. Раскрыть модули ( входящие в уравнение) на каждом промежутке. Для этого необходимо число из данного промежутка подставить вместо переменной в подмодульное выражение. Определив знак подмодульного выражения, освободиться от модуля. Решить уравнение на каждом промежутке своё и найденные решения объединить в ответе.
Примеры: а). | х–1 |+| х +2|= 1.
Найдем корни подмодульных выражений х – 1 =0, х = 1; х +2 = 0 , х= – 2.
. . х –2 1
Решим уравнения на промежутках. Ι. (–∞;–2): –х+1–х–2 = 1; –2х – 1 = 1; –2х =2; х = – 1; – 1 (–∞;–2); корней нет ΙΙ. [–2; 1] ; –х + 1+х + 2 = 1; 0х = –2, решений нет. ΙΙΙ. ( 1; + ∞ ); х – 1 + х + 2 = 1; 2х + 1 = 1; 2х = 0; х = 0; 0 ( 1; + ∞ ); корней нет.
К таким уравнениям относятся уравнения, в которых под знаком модуля находится функция, в записи которой один или несколько модулей, то есть «модули под модулем». Уравнения данного вида можно решать методом интервалов или применяя свойства модуля.
3 + | х + 1|= 5 или 3 + | х + 1|= –5 | х + 1|=2 | х + 1|= –8 корней нет
х + 1 =2 х + 1 = –2 х1 =1 х2 = –3
Ответ: 1;–3.
в). ||| х | –1|–1|=1.
||| х | –1|–1|=1
|| х | –1|–1=1 или || х | –1|–1= –1 || х | –1|=0 | х | –1=2 | х |=1, х = ± 1 | х |= 3 | х |= ±3
Ответ: ±1; ±3
в). |х – |2 х + 3|| =3х– 1.
О.Д.З. 3х– 1≥ 0, 3х ≥ 1, х ≥ . |х – |2 х + 3|| =3х– 1
х – |2 х + 3| =3х– 1 или х – |2 х + 3| =1– 3х Решим методом интервалов каждое уравнение: 2 х + 3=0 2х = –3 х = – , х = –
. х –
Ι. (–∞;– ) : х + 2х + 3 = 3х–1, 0х = –4 - решений нет. ΙΙ. [– ;+ ∞): х – 2х –3=3х–1, –4х = 2, х = – , – [– ;+ ∞). Решений нет.
2 х + 3=0 2х = –3 х = – , х = –
. х – Ι. (–∞;– ) : х + 2х + 3 =1–3х, 3х + 3х= 6х –2, х = – , – (–∞;– ) – решений нет. ΙΙ. [– ;+ ∞): х – 2х –3= 1–3х, 2х = 4 , х=2 [– ;+ ∞). х = 2 – корень уравнения.
Ответ: 2. Упражнения для самостоятельной работы |3 – | х – 2|| = 5 || х – 1|+2| = 1 || х + 1|+2| = 1 |х| + | х + 1|| =0 || х + 1|–4| = 2 |х–|2 х + 3||= 3х + 1 || х |–2| = 4 | х– |4–х| = 4 |2 –|1–|х ||=1 ||| х |+ 1|+1| = 1 || х – 1||+ х = 4 |2 – | 1 –|х| || = 1 | х2 – 3|х|+2| = х2 – 2х ||| х |–2|+ 1| = 2 | х2 – 3|х|+1| = 1 ||| х |+2|– 1| = 3
Литература М.К. Потапов и др. Конкурсные задачи по математике М. 1995. Я.К. Фельдман Готовимся к экзаменам С.- Петербург 1997. А.Г. Цыпкин Справочник по математике для средней школы. М.: Наука, 1981. Д.Т. Письменный Математика для старшеклассников. М.; 1996. А.Г. Мерзляк Алгебраический тренажер. Киев: 1997. В.В. Казак, А.В. Козак Тесты по математике. Централизованное тестирование. Москва: 2003